Trigonometrisâš funktio

Trigonometrisâš funktioh láá matematikist kulme funktioh. Trigonometrisâš funktioh miäruštâllojeh táválávt jiärdukulmásâš kuulmâčievâg sijđoi koskâvuođâin, mut almolávt toh miäruštâllojeh ohtâdâhriäggás sargum linjái kukkodâhhân. Moderneh miäruštâlmeh kovvejeh taid ráiđun teikâ tiätu differentiaalovtâlduvâi čuávdusin, kuás taid puáhtá vijđediđ nuuvt ete toh kyeskih sehe positiivlâš ete negatiivlâš lovvoid já joba komplekslovvoid.

Tááláá ääigi láá kiävtust kuttâ trigonometrisâš funktio:

Funktio	Uánádâs	Ohtâvuođah
Sini	sin	$\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Kosini	cos	$\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Tangent	tan	$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{\cot \theta }=\cot (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Kotangent	cot	$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Sekant	sec	$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }=\csc (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Kosekant	csc	$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }=\sec (\frac{\pi }{2}-\theta )$

Neelji majemuu funktio vuossâmužžân adelum ohtâvuođah láá oonnum meid tai funktioi miäruštâlmin, mut taid puáhtá miäruštâllâđ meid eresnáál.

Sekant já kosekant láá viehâ harvii kevttum, tondiet ko táválávt toi saajeest kiävttojeh sini já kosini jorgoáárvuh.

Trigonometrisâš funktioi tiätu rájášum jorgofunktioh láá arkusfunktioh.

Miäruštâllâm jiärdukulmásâš kuulmâčievâg vievâst

Jiärdukulmásâš kuulmâčievâgist lii ain ohtâ 90° kulme (γ). Kulmeh α já β láá ain čuhâkulmeh.

Mielâváldálâš jiärdukulmásâš kuulmâčievâg, mon nubbe čuhâ kulme lii α (0 < α < 90°), tuáimá:

$\sin \alpha =\frac{a}{h},\cos \alpha =\frac{b}{h},\tan \alpha =\frac{a}{b}.$

mast a lii vuástásâš kaateet, b paldâsâš kaateet já h hypotenuusa.

Eres trigonometrisâš funktiod lii älkkeb rähtiđ miäruštâlmijd ovdebij miäruštâlmij vievâst. Kulme kosekant lii kulme sini jorgoárvu ađai hypotenuusa já vuástásâš kaateet kukkoduvâi koskâvuotâ. Kulme sekant lii kulme kosini jorgoárvu ađai hypotenuusa já paldâsâš kaateet kukkoduvâi koskâvuotâ. Kulme kotangent lii kulme tangent jorgoárvu ađai paldâsâš já vuástásâš kaateet kukkoduvâi koskâvuotâ.

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{h}{a},\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{h}{b},\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{b}{a}.$

Miäruštâllâm ohtâdâhriäggá vievâst

Funktioi miäruštâllâm ohtâdâhriäggá vievâst.

Trigonometrisâš funktioid puáhtá miäruštâllâđ meid ohtâdâhriäggá ađai orgiost leijee riegis, mon suonjâr lii ohtâ, vievâst. Taat miäruštâllâm lii täärhib, ko tot kuáská puoh kulmijd, ij tuše taid kulmijd, moh láá kooskâst 0 < α < 90°.

Jis sárgu koordinaatiston origost (0, 0) vyelgee linjá, mii jotá ohtâdâhriegis čyegis (x, y) rasta, te tääl sini já kosini miäruštâlmeh láá:

$\cos \theta =x$

$\sin \theta =y$.

mast $\theta$ lii linjá já x-aksel koskâsâš kulme. Kulme lii positiivlâš vyestipiäiván já negatiivlâš mietipiäiván.

Ko riäggá ohtâdâh lii:

$x^2+y^2=1$,

tot čuávu tast, ete puoh kuulmijn $\theta$ tuáimá:

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$.

Taat ohtâdâh lii jiešalnees siämmáš ko Pythagoras ceelhâ, mut tuše trigonometrisâš funktioi vievâst oovdânpuohtum.

Ohtâdâhriäggá siisâ sargum kuulmâčievâg nannee, ete jis $\theta$ lii čuhâkulme, te taat miäruštâllâm lii siämmáš čuávuváin miäruštâlmáin: Kuulmâčievâg hypotenuusa lii riäggá suonjâr, mon kukkodâh lii 1. Tääl vuosmuu miäruštâllâm mieldi:

$\cos \theta =\frac{x}{1}=x$

$\sin \theta =\frac{y}{1}=y$.

Ohtâdâhriäggá puáhtá jurdâččiđ vyehhin tarkkuđ robdâttemes mere jiärdukulmásâš kuulmâčievâgijd, moi sijđoi kukkoduvah muttojeh, mut hypotenuusa lii ain siämmáš.

Ohtâdâhriegis sehe kosini já sini áárvuh motomijn kuulmijn.

Ohtâdâhriäggás vuáđudeijee miäruštâllâm ij kuittâggin vaađâ, ete kulme ličij čuhâkulme. Jis tárkkoo ohtâdâhriäggá čuággáid (1, 0) já (-1, 0), main sirdâšuveh kulme $\theta$ já $180^{\circ }-\theta$ veerdi, te huámmáš, ete čuággái sajaduvah láá spejâlkoveh y-aksel háárán. Tast čuávu, ete:

$\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$

$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$.

Jis kiävttá radiaanijd, te

$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$

$\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$.

Jis kulme $\theta$ sajan sirdá kulme $-\theta$, te čuággái sajaduvah láá speeijâlkoveh x-aksel háárán, mast čuávu, ete:

$\cos (-\theta )=\cos \theta$

$\sin (-\theta )=-\sin \theta$.

Tast čuávu, ete kosini lii parâlâš já sini parâttemes funktio.

sin(x)- ja cos(x)-funktioh koordinaatistost.

Tangentfunktio tan(x).

Kuulmijn, moh láá stuárráábeh ko tievâkulme $2\pi$ $(360^{\circ })$ teikkâ ucebeh ko $-2\pi$, trigonometrisâš funktioh miäruštâllojeh nuuvt, ete tiptá kulme ponjásiđ pirrâ. Ađai jis kulme muttoo $\theta +2\pi$ verd, te puáhtá jurdâččiđ, ete kulme muttoo vistig tievâ rieggee verd já talle vala kulme $\theta$ verd, kuás x já y koordinaatij ađai kulme sini já kosini áárvuh láá siämmááh ko jis muttuuččij tuše $\theta$ verd. Tondiet sini já kosini láá pudâlâš funktioh já toi paje lii $2\pi$.

$\sin \theta =\sin (\theta +2\pi n)$

$\cos \theta =\cos (\theta +2\pi n)$

mast n lii mii peri olesloho.

Sinist, kosinist já tangentist láá nollásajeh robdâttemeht.

$\sin \theta =0\leftrightarrow \theta =n\pi$

$\cos \theta =0\leftrightarrow \theta =\frac{2n+1}{2}\pi$

$\tan \theta =0\leftrightarrow \theta =n\pi$

Tangentfunktio lii meid pudâlâš funktio, mut ton paje lii $\pi$. Ton kovedeijee lii uáli ereslágán ko sini- já kosinifunktioin. Ko tangent miäruštâlloo $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$, te tangent nollásajeh láá siämmááh ko sini nollásajeh já ton áárvu ij pyevti miäruštâllâđ kosinifunktio nollásooijijn.

Miäruštâllâm ráiđui vievâst

Taylor polynom vievâst puáhtá čäittiđ, ete čuávuvááh identiteeteh tuáimih puoh reallovvoid x.

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$